Tìm kiếm mục từ trong bộ từ điển bách khoa (4 tập)
Từ khóa
Chuyên ngành
Địa lý
Giải nghĩa
PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ

phương pháp xây dựng một lí thuyết khoa học bằng cách chọn ra một số khái niệm cơ bản (không định nghĩa) và một số mệnh đề (không chứng minh) khẳng định một số tính chất của các khái niệm cơ bản đó. Các mệnh đề đó gọi là các tiên đề. Từ các khái niệm cơ bản và các tiên đề, bằng suy diễn lôgic, người ta định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các định lí trong lí thuyết đó. Các suy diễn lôgic lại dựa trên một số tiên đề của lôgic toán và một số quy tắc suy diễn (x. Lôgic toán; Môđuyt pônen).

Một hệ tiên đề của một lí thuyết có thể có nhiều thể hiện cụ thể bằng các mô hình toán học (x. Mô hình). Vd. hệ tiên đề của hình học Lôbachepxki (Lobachevskij) có nhiều mô hình, trong đó có hai mô hình quen thuộc là mô hình Kêli - Klên (Caylly - Klein) và mô hình Poăngcarê (Poincaré).

Với một lí thuyết tiên đề hoá, các vấn đề sau đây được đặt ra: 1) Có hay không có một định lí nào đó mâu thuẫn với một tiên đề hay định lí khác? Đó là vấn đề về tính “phi mâu thuẫn” của hệ tiên đề. 2) Có hay không một tiên đề nào đó có thể suy diễn được từ các tiên đề khác? Đó là vấn đề về tính “độc lập” của các tiên đề. 3) Hệ tiên đề đã đầy đủ chưa, tức là có thể bổ sung hay không tiên đề mới độc lập với các tiên đề đã có mà hệ nhận được vẫn là phi mâu thuẫn? Đó là vấn đề về tính “đầy đủ” của hệ tiên đề.

Trong ba vấn đề trên thì vấn đề “phi mâu thuẫn” là cơ bản nhất vì nó quyết định sự tồn tại có nghĩa của hệ tiên đề. Phương pháp mô hình cho phép chứng minh được tính “phi mâu thuẫn” tương  đối của một hệ tiên đề, tức là chứng minh được điều khẳng định dạng: “Lí thuyết L sẽ phi mâu thuẫn nếu lí thuyết L’ phi mâu thuẫn”. Bằng cách đó tính phi mâu thuẫn của lí thuyết L cuối cùng dẫn về tính phi mâu thuẫn của lí thuyết tập hợp. Nhưng trong lí thuyết tập hợp (ngây thơ) lại xuất hiện các nghịch lí. Nhằm giải quyết triệt để các vấn đề trên của một hệ tiên đề, Hinbe Đ. (Hilbert) đã khởi xướng trường phái “hình thức chủ nghĩa” mà nội dung của nó là: bằng cách chỉ sử dụng một số hạn chế công cụ và quy tắc suy lí “đáng tin cậy” để hình thức hoá toán học với hi vọng chứng minh tính phi mâu thuẫn bằng chính các công cụ đã được hình thức hoá. Bộ phận của toán học nghiên cứu các chứng minh trong một hệ hình thức gọi là siêu toán học. Tuy nhiên các kết quả nổi tiếng của nhà toán học Áo Guêđen (K. Gödel; 1906 - 78) đã khẳng định tính không đầy đủ của số học hình thức cũng như việc không thể chứng minh tính phi mâu thuẫn của nó bằng chính các công cụ của hệ đó. Điều này chứng tỏ chương trình của Hinbe là không thể thực hiện được, song PPTĐ đóng vai trò hết sức quan trọng trong toán học cũng như các ứng dụng của nó.